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File - Sinuiosoidi
Le sinusoidi: molto studiate e poco conosciute

La conoscenza dei segnali sinusoidali è fondamentale sia per la matematica che per la fisica (oltre che per l'elettronica e l'elettrotecnica) e per questo motivo lo studio delle sinusoidi fa parte del bagaglio standard degli studenti delle scuole superiori. Tuttavia raramente nei corsi scolastici ci si sofferma ad approfondire che cosa siano realmente queste sinusoidi e perché siano così importanti.

Lo studio delle sinusoidi e il loro utilizzo nell'analisi dei segnali sonori sarà oggetto di approfondimento nelle successive lezioni. In questa breve introduzione vogliamo cercare di capire cosa sia una sinusoide e quale sia il suo significato, prescindendo dai dettagli matematici e concentrandoci sulla comprensione generale.

Lavagna e calcolatrice: una semplicità ingannevole

Nei corsi scolastici di matematici gli studenti sono abituati a tracciare e a studiare i grafici delle funzioni seno e coseno. La loro forma è universalmente nota:

seno e coseno

Tuttavia, benché sia semplice tracciare la forma di una funzione oscillante sulla lavagna e sul quaderno, rimane aperta la questione di cosa sia realmente questa funzione. Infatti non è vero che qualsiasi oscillazioni con qualsiasi forma, comunque sia stata disegnata, sia una sinusoide. Per esempio quella della figura qui sotto, evidentemente, non è una sinusoide:

seno

Altrettanto semplice in apparenza e altrettanto ingannevole è l'uso di una calcolatrice scientifica per calcolare i valori delle funzioni seno e coseno. Premere un tasto è facile (anche se gli studenti spesso fanno confusione fra gradi, gradi centesimali e radianti); molto più difficile è capire attraverso quali procedimenti la calcolatrice sia in grado di effettuare questo calcolo.

Infatti, se per altre funzioni matematiche, pensiamo all'elevamento a potenza o alla radice quadrata, lo studente conosce (almeno a grandi linee) il procedimento di calcolo, le funzioni sinusoidali rimangono un mistero.

Che cos'è una sinusoide: il cerchio trigonometrico e il pendolo oscillante

In realtà per capire davvero cosa sia una funzione sinusoidale, occorre ripartire dalla sua definizione matematica, ovvero è possibile attribuire alla sinusoide s(t) un semplice significato geometrico, pensando ad un segmento o vettore di lunghezza A (detto anche fasore), in rotazione con velocità angolare ω: s(t) rappresenta, istante per istante, il valore della coordinata y del segmento:

In parole più semplici: per produrre una sinusoide bisogna proiettare su un'asse (y per il seno oppure x per il coseno) un segmento che ruota con velocità costante intorno all'origine. La figura seguente dovrebbe chiarire meglio come viene generata una sinusoide:

Si osservi l'animazione: il segmento ruota con velocità angolare costante e proietta sull'asse y i valori nel tempo della funzione seno.

Un modo per tracciare il grafico di una sinusoide è far oscillare un pennino attaccato a un pendolo su un foglio di carta trascinato con velocità costante:

disegnare una sinusoide con un pendolo

Affinché la curva disegnata sia una sinusoide perfetta occorre che le oscillazioni siano regolari (non smorzate, sempre con la stessa ampiezza) e che la velocità di movimento del foglio sia costante.  

Ampiezza, pulsazione, frequenza, periodo

Dal punto di vista matematico una generica sinusoide s(t) può essere rappresentata per mezzo della seguente espressione:

s(t) = A sen(ω.t)

dove "sen" è l'abbreviazione comunemente usata per indicare la funzione "seno", A è l'ampiezza del segnale sinusoidale, ω è la pulsazione della sinusoide, misurata in rad/s.

Il radiante (rad) è l'unità di misura degli angoli piani nel Sistema Internazionale. Un radiante (1 rad) viene definito come quell'angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di circonferenza di lunghezza uguale al raggio. In pratica per ottenere il valore in radianti di un angolo basta dividere l'arco di circonferenza sotteso all'angolo per il raggio della circonferenza stessa: essendo il rapporto fra due lunghezze dunque il radiante non ha dimensioni fisiche.

La funzione seno è una funzione periodica, cioè tale che i suoi valori si ripetono identici ad intervalli di tempo pari a un periodo T. Fra periodo T (misurato in secondi), pulsazione ω (misurata in radianti al secondo) e frequenza f (misurata in hertz), esistono le seguenti relazioni:

ω = 2πf     ω=2π/T    T=1/f    T=2π/ω    f=1/T    f=ω/(2π)

In pratica la pulsazione e la frequenza misurano la stessa grandezza fisica, ma con unità di misura differenti (rad/s per la pulsazione e Herz per la frequenza). Nel seguito quindi i due termini, pulsazione e frequenza, saranno spesso usati in modo quasi indifferente, per indicare la rapidità con cui il segnale sinusoidale oscilla nel tempo.

Il grafico dell'andamento nel tempo di una generica sinusoide s(t) è mostrato in figura:

Funzione coseno

Il lettore probabilmente conosce l'esistenza di una seconda funzione sinusoidale, detta coseno, la cui espressione analitica è

s2(t) = A cos(ω.t)

Dal punto di vista geometrico s2(t) rappresenta, istante per istante, il valore della proiezione sull'asse x del vettore ruotante (fasore). Il grafico della funzione coseno è il seguente:

E' interessante osservare che in realtà i grafici di seno e di coseno sono indistinguibili l'uno dall'altro e che pertanto si tratta in pratica della stessa funzione. Infatti, confrontando fra loro i grafici di seno e coseno, notiamo che la forma d'onda dei due segnali è esattamente identica. L'unica differenza è data dalla posizione della curva rispetto agli assi cartesiani (o, più precisamente, rispetto all'origine dei tempi t = 0): infatti la funzione "seno" nell'origine passa per lo zero crescendo, mentre la funzione "coseno" in t = 0 raggiunge il suo valore massimo. Tuttavia il riferimento di tempo t = 0 è arbitrario e dunque la distinzione fra seno e coseno è puramente convenzionale.

 

 

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